Question

《文匯報(bào)》載，舉世矚目的上海磁懸浮列車工程于2003年3月2日在浦東新區(qū)開工，該工程全線長(zhǎng)35km．磁懸浮列車運(yùn)行時(shí)懸浮于軌道上面，運(yùn)行平穩(wěn)舒適，安全無(wú)噪聲，可以實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)化運(yùn)行．據(jù)德國(guó)科學(xué)家預(yù)言，到2014年，采用新技術(shù)的磁懸浮列車的時(shí)速將達(dá)到1000km/h．現(xiàn)假設(shè)上海磁懸浮列車每小時(shí)使用的能源費(fèi)用（千元）和列車速度（km/h）的立方成正比，且最大速度不超過(guò)550km/h．當(dāng)速度是100km/h時(shí)，它的能源費(fèi)用是每小時(shí)0.04千元，其余費(fèi)用（不論速度如何）都是每小時(shí)40.96千元，
（1）求列車試運(yùn)行時(shí)，完成全程路線所需的總費(fèi)用與車速的函數(shù)關(guān)系；
（2）求車速為多少時(shí)，運(yùn)行的總費(fèi)用最低？（若寫不下，可做在反面）

Answer 1

分析：（1）依題意要明確三點(diǎn)：1、列車運(yùn)行的總費(fèi)用由兩部分組成，即能源費(fèi)用及其余費(fèi)用，2、為了求出能源費(fèi)用，還必須求出列車每小時(shí)使用的能源費(fèi)用與列車速度的立方成正比的比例系數(shù)，3、要注意實(shí)際背景下的函數(shù)定義域，以獲得具有實(shí)際意義的答案．
（2）利用均值不等式求出函數(shù)的最小值，注意定義域，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可．

解答：解：（1）設(shè)能源費(fèi)用每小時(shí)是q千元，車速是vkm/h，依題意有q=kv³（k為比例系數(shù)），
將v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列車從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)用為y=f（x）=1.4×10^-6x²+

1433.6

x

（2）因?yàn)閒（x）=1.4×10^-6x²+

716.8

x

+

716.8

x

≥3[（1.4×10^-6x²）×（

716.8

x

）×（

716.8

x

）] 

1

3

═2.688（千元）．
并且最小值在1.4×10^-6x²=

716.8

x

時(shí)取得，對(duì)應(yīng)的x=800km/h
當(dāng)且僅當(dāng)v²=，即v=800時(shí)，上面不等式取等號(hào)．
但由實(shí)際情況可知，目前建造的列車根本達(dá)不到800km/h這個(gè)速度，即上式中的v是有限制的：0＜v≤550，因此不能利用均值不等式來(lái)求函數(shù)的最值．我們可以證明函數(shù)f（v）在定義域（0，550）上是單調(diào)遞減的，故車速為550km/h時(shí)，運(yùn)行的總費(fèi)用最低．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時(shí)考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．