【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū),規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m,經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO= .
(1)求新橋BC的長;
(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?
【答案】
(1)解:如圖,
過B作BE⊥OC于E,過A作AF⊥BE于F,
∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,
∴∠ABF=∠BCE,
∴ .
設(shè)AF=4x(m),則BF=3x(m).
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°,
∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m),
∴BE=(3x+60)m.
∵ ,
∴CE= (m).
∴ (m).
∴ ,
解得:x=20.
∴BE=120m,CE=90m,
則BC=150m
(2)解:如圖,
設(shè)BC與⊙M切于Q,延長QM、CO交于P,
∵∠POM=∠PQC=90°,
∴∠PMO=∠BCO.
設(shè)OM=xm,則OP= m,PM= m.
∴PC= m,PQ= m.
設(shè)⊙M半徑為R,
∴R=MQ= m= m.
∵A、O到⊙M上任一點距離不少于80m,
則R﹣AM≥80,R﹣OM≥80,
∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.
解得:10≤x≤35.
∴當且僅當x=10時R取到最大值.
∴OM=10m時,保護區(qū)面積最大.
【解析】(1)在四邊形AOCB中,過B作BE⊥OC于E,過A作AF⊥BE于F,設(shè)出AF,然后通過解直角三角形列式求解BE,進一步得到CE,然后由勾股定理得答案;(2)設(shè)BC與⊙M切于Q,延長QM、CO交于P,設(shè)OM=xm,把PC、PQ用含有x的代數(shù)式表示,再結(jié)合古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m列式求得x的范圍,得到x取最小值時圓的半徑最大,即圓形保護區(qū)的面積最大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某濕地公園內(nèi)有一條河,現(xiàn)打算建一座橋?qū)⒑觾砂兜穆愤B接起來,剖面設(shè)計圖紙如下:
其中,點為軸上關(guān)于原點對稱的兩點,曲線段是橋的主體,為橋頂,且曲線段在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為,曲線段均為開口向上的拋物線段,且分別為兩拋物線的頂點,設(shè)計時要求:保持兩曲線在各銜接處()的切線的斜率相等.
(1)求曲線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式,并寫出定義域;
(2)車輛從經(jīng)倒爬坡,定義車輛上橋過程中某點所需要的爬坡能力為:(該點與橋頂間的水平距離)(設(shè)計圖紙上該點處的切線的斜率),其中的單位:米.若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車:①游客踏乘;②蓄電池動力;③內(nèi)燃機動力.它們的爬坡能力分別為米,米,米,又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度米,試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(﹣ , )
(1)當a= ,θ= 時,求f(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值與最小值;
(2)若f( )=0,f(π)=1,求a,θ的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸.
(1)確定與的關(guān)系;
(2)若,試討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2a5-a3=13,S4=16.
(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)設(shè)Tn=(-1)iai,若對一切正整數(shù)n,不等式 λTn<[an+1+(-1)n+1an]·2n-1 恒成立,求實數(shù) λ 的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(n>m>2),使得S2,Sm-S2,Sn-Sm成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ex﹣ (x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,則a的取值范圍是( )
A.(﹣ )
B.( )
C.( )
D.( )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個包裝箱內(nèi)有6件產(chǎn)品,其中4件正品,2件次品.現(xiàn)隨機抽出兩件產(chǎn)品,
(1)求恰好有一件次品的概率.
(2)求都是正品的概率.
(3)求抽到次品的概率.
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