【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū),規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m,經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=

(1)求新橋BC的長;
(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?

【答案】
(1)解:如圖,

過B作BE⊥OC于E,過A作AF⊥BE于F,

∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,

∴∠ABF=∠BCE,

設(shè)AF=4x(m),則BF=3x(m).

∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°,

∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m),

∴BE=(3x+60)m.

∴CE= (m).

(m).

,

解得:x=20.

∴BE=120m,CE=90m,

則BC=150m


(2)解:如圖,

設(shè)BC與⊙M切于Q,延長QM、CO交于P,

∵∠POM=∠PQC=90°,

∴∠PMO=∠BCO.

設(shè)OM=xm,則OP= m,PM= m.

∴PC= m,PQ= m.

設(shè)⊙M半徑為R,

∴R=MQ= m= m.

∵A、O到⊙M上任一點距離不少于80m,

則R﹣AM≥80,R﹣OM≥80,

∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.

解得:10≤x≤35.

∴當且僅當x=10時R取到最大值.

∴OM=10m時,保護區(qū)面積最大.


【解析】(1)在四邊形AOCB中,過B作BE⊥OC于E,過A作AF⊥BE于F,設(shè)出AF,然后通過解直角三角形列式求解BE,進一步得到CE,然后由勾股定理得答案;(2)設(shè)BC與⊙M切于Q,延長QM、CO交于P,設(shè)OM=xm,把PC、PQ用含有x的代數(shù)式表示,再結(jié)合古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m列式求得x的范圍,得到x取最小值時圓的半徑最大,即圓形保護區(qū)的面積最大.

練習冊系列答案
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