Question

已知數(shù)列{a_n} 和{b_n} 的通項(xiàng)分別為a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*），集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，設(shè)D=C_AB．將集合D中元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
（1）寫出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）求數(shù)列{d_n}的前2012項(xiàng)的和；
（3）是否存在這樣的無窮等差數(shù)列{c_n}：使得C_n∈D（n∈N^*）？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的數(shù)列，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)，寫出相應(yīng)的項(xiàng)，由此可寫出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）數(shù)列{d_n}的前2012項(xiàng)的和為數(shù)列{a_n}的前2012項(xiàng)的和減去{b_n}的前10項(xiàng)的和，由此可得結(jié)論
（3）存在，列舉一個(gè)c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，證明c_n∈A，c_n∉B即可．
解答：解：（1）∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴a₁=1，b₁=3；a₂=3，b₂=7；a₃=5，b₃=15；
∴A={1，3，5，7，9，11，13，…2n-1}，B={3，7，15，31，63，127，…2ⁿ⁺¹-1}，
∵D=C_AB，集合D中元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
∴d₁=1，d₂=5，d₃=9，d₄=11；
（2）b₁=3，b₂=7，b₃=15，…b₁₀=2047，b₁₁=4095，a₂₀₁₂=2×2012-1=4023，a₂₀₂₂=2n-1=4043
∴數(shù)列{d_n}的前2012項(xiàng)的和為a₁+a₂+…+a₂₀₁₂-（b₁+b₂+…+b₁₀）=2022²-（2¹²-14）=40402
（3）存在．如c_n=6n-1（n∈N^*），
證明：c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，所以3n∈N^*，所以c_n∈A
假設(shè)c_n∈B，則存在實(shí)數(shù)k，6n-1=2^k+1-1，所以n=（n∈N^*），
由于上式左邊為整數(shù)，右邊為分?jǐn)?shù)，所以上式不成立，所以假設(shè)不成立，所以c_n∉B
所以c_n∈D．即c_n=6n-1（n∈N^*）滿足要求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合，考查數(shù)量的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是理解數(shù)列的新定義，有難度．