Question

已知函數(shù)f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：且n＞1）

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，知x＞1，，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（x）≤0恒成立，知?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，故k＞0．f（x）_max=f（1+）=ln≤0，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）令k=1，能夠推導(dǎo)出lnx≤x-1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．取x=n²，得到，n≥2，由此能夠證明且n＞1）．
解答：解：（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，，
∵x＞1，∴當(dāng)k≤1時(shí)，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（1，1+）上是增函數(shù)，在（1+，+∞）上為減函數(shù)．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）_max=f（1+）=ln≤0，
解得k≥1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．
（3）令k=1，則由（2）知：ln（x-1）≤x-2對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n²，則2lnn≤n²-1，
即，n≥2，
∴且n＞1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．