Question

已知A、B是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右頂點，橢圓上異于A、B的兩點C、D和x軸上一點P，滿足

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

．
（1）設△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，求證：S₁S₃=S₂S₄；
（2）設P點的橫坐標為x₀，求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

CP

=

1

3

CD

，C、D、P三點共線，且C、D在P點的兩側，由此能夠證明S₁S₃=S₂S₄．
（2）設直線CD的方程為：x=my+x₀由

x=my+x0 x2 4 + y2 3 =1

，得：（3m²+4）y²+6mx₀y+3x02-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出x₀的取值范圍．

解答： （1）證明：∵

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

，∴

AP

=

1

3

AD

+(1-

1

3

)

AC

，
即

AP

-

AC

=

1

3

（

AD

-

AC

），
∴

CP

=

1

3

CD

，
∴C、D、P三點共線，且C、D在P點的兩側，
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，
∴

S1

S2

=

| CP |

| PD |

=

S4

S3

，∴S₁S₃=S₂S₄．
（2）解：由（Ⅰ）知，C、D、P三點共線，且C、D在P點的兩側，且C、D異于A、B的兩點，
∴-2＜x₀＜2，且直線CD不平行于x軸，
設直線CD的方程為：x=my+x₀
由

x=my+x0 x2 4 + y2 3 =1

，得：（3m²+4）y²+6mx₀y+3x02-12=0，
當-2＜x₀＜2時，直線與橢圓有兩個交點，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

6mx0

3m2+4

，y₁y₂=

3x02-12

3m2+4

，
又

CP

=

1

3

CD

，∴y₂=-2y₁，
聯(lián)立三式，消去y₁、y₂ 得：-

72m2x02

(3m2+4)2

=

3x02-12

3m2+4

，
化簡得：（27x02-12）m²=4（4-x02），
∵-2＜x₀＜2，m²＞0，∴27x₀²-12＞0，
所以x₀＞

2

3

或x₀＜-

2

3

，
綜上知x₀的取值范圍是（-2，-

2

3

）∪（

2

3

，2）．

點評：本題考查三角形面積乘積相等的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．