Question

(本題滿分14分)已知橢圓的離心率為，點P(1，)在該橢圓上．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若直線與圓O:相切，并橢圓交于不同的兩點A、B，求

△AOB面積S的最大值．

Answer 1

（1）橢圓方程為．（2）△AOB面積S的最大值．

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，得： ；由點P(1，)在橢圓上得：

又因為 ，解方程組可確定 的值，從而得到橢圓的標準方程；

（2）所以設(shè)直線的方程為()，利用直線與圓相切的條件確定的關(guān)系；點A、B的坐標(，)、(，)，則滿足方程組

利用韋達定理將△AOB面積S表示為的函數(shù)，再利用函數(shù)或不等式的方法求面積的最大值.

試題解析：【解析】
(1)∵橢圓的離心率，∴，又∵

，∴，故橢圓方程可寫為，又∵點P(1，)在該橢圓上，∴，故所求橢圓方程為． 5分

(2)依題結(jié)合圖形知的斜率不可能為零，所以設(shè)直線的方程為()．∵直線即與圓O:相切，∴有：

得．又∵點A、B的坐標(，)、(，)滿足：

，消去整理得，

其判別式，

又由求根公式有．

．

∵，∴，

當且僅當時取等號．∴所求△AOB面積S的最大值． 14分

考點：1、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合問題.