Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，且f（x）的導函數(shù)f′（x）＞x-1，則不等式f(x)＜

1

2

x2-x+1的解集為（　�。�

A．{x|-2＜x＜2}

B．{x|x＞2}

C．{x|x＜2}

D．{x|x＜-2或x＞2}

Answer 1

分析：通過對題目的分析，可構造函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x2+x，利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可解出．

解答：解：令g（x）=f（x）-

1

2

x2+x，對g（x）求導，得g′（x）=f′（x）-x+1，
∵f′（x）＞x-1，∴g′（x）＞0，即g（x）在R上為增函數(shù)．
不等式f(x)＜

1

2

x2-x+1可化為f（x）-

1

2

x2+x＜1，即g（x）＜g（2），
由g（x）單調(diào)遞增得x＜2，所以不等式的解集為{x|x＜2}．
故選C．

點評：本題考查了靈活利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及抽象不等式的解法，據(jù)已知恰當構造函數(shù)是解決本題的關鍵．