Question

某企業(yè)擬在2012年度進行一系列促銷活動，已知某產(chǎn)品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例，當年促銷費用t=0萬元時，年銷量是1萬件，已知2012年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用．若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產(chǎn)的商品正好能銷完．
（1）將2012年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數(shù)
（2）該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)3-x與t+1成反比例，當年促銷費用t=0萬元時，年銷量是1萬件，可求出k的值；進而通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，將t=0，x=1代入得k=2
∴x=3-

2

t+1

當年生產(chǎn)x（萬件）時，年生產(chǎn)成本=32x+3=32(3-

2

t+1

)+3，當銷售x（萬件）時，年銷售收入=150%[32(3-

2

t+1

)+3]+

1

2

t
由題意，生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品正好銷完，∴年利潤=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-促銷費
即y=

-t2+98t+35

2(t+1)

(t≥0)
（2）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42，此時t=7，y_max=42．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題