已知函數(shù),
.
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè),若對任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)
滿足
,總存在
,使得
成立,證明:
.
(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,
(2) (3)構(gòu)造函數(shù)證明.
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)
,則
.
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
1,
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,
.
(2)恒成立,即
恒成立,整理得
恒成立.
設(shè),則
,令
,得
.當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞減,因此當(dāng)
時(shí),
取得最大值1,因而
.
(3),
.
因?yàn)閷θ我獾?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071012040894247505/SYS201307101206263203267905_DA.files/image027.png">總存在,使得
成立,
所以,即
,
即
.
設(shè),其中
,則
,因而
在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
,又
.所以
,即
.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
點(diǎn)評:本題是中檔題,考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1-x2 |
x2-1 |
A、[-1,1] |
B、{-1,1} |
C、(-1,1) |
D、(-∞,-1]∪[1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
a |
x |
lnx |
x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
a |
x |
3 |
4 |
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