Question

已知函數(shù)f（x）=λ•2^x-4^x的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

（1）設(shè)2^x=t，
∵函數(shù)f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定義域?yàn)閇0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函數(shù)f（x）在[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴y=-t²+λt在[1.2]是減函數(shù)，
∴t=

λ

2

≤1，解得λ≤2，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2]．
（2）∵函數(shù)f（x）=λ•2^x-4^x的定義域?yàn)閇0，1]，最大值為

1

2

，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴對(duì)稱(chēng)軸方程為t=

λ

2

，
①當(dāng)

λ

2

＜1時(shí)，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是減函數(shù)，
∴當(dāng)t=1時(shí)，y取最大值ymax=-(1-

λ

2

)2+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②當(dāng)1≤

λ

2

≤2時(shí)，當(dāng)t=

λ

2

時(shí)，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

，（舍）
③當(dāng)

λ

2

＞2時(shí)，當(dāng)t=2時(shí)，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

．
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的值為

3

2

，或

9

4

．