Question

已知圓，直線，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、．
（Ⅰ）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)作直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
（III）求證：經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓與圓的公共弦必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）或；（III）

試題分析：解：（Ⅰ）由條件可知，設(shè)，則解得或，所以或………………4分
(Ⅱ)由條件可知圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，
則，解得或 
所以直線的方程為或………………8分
（III）設(shè)，過(guò)、、三點(diǎn)的圓即以為直徑的圓，
其方程為
整理得與相減得

即
由得
所以兩圓的公共弦過(guò)定點(diǎn)………………14分
點(diǎn)評(píng)：本題第一、二小題較容易，第三小題較難。但第三小題解法巧妙，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。這種解法是這樣的，將兩圓的方程相減，得到一條直線的方程，由于兩圓相交于兩點(diǎn)，因而這條直線也經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)，故這條直線就是弦所在的直線。