設(shè)函數(shù)f（x）=
3
sin2x+cos2x+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的增區(qū)間
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大最小值并求出相應(yīng)的x的值．
分析：（I）利用兩角和的正弦公式把函數(shù)f（x）=
3
sin2x+cos2x+1化為2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+1=2sin(2x+
π
6
)+1，利用周期公式即可得出；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間；
（III）由x∈[-
π
6
，
π
3
]，可得(2x+
π
6
)∈[-
π
6
，
5π
6
]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1．即可得到最值．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）=
3
sin2x+cos2x+1
=2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+1
=2sin(2x+
π
6
)+1
∴T=
2π
2
=π，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（II）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，
解得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[-
π
3
+kπ，
π
6
+kπ]（k∈Z）．
（III）由x∈[-
π
6
，
π
3
]，可得(2x+
π
6
)∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1．
當(dāng)且僅當(dāng)2x+
π
6
=-
π
6
，即x=-
π
6
，ymin=2×(-
1
2
)+1=0；
當(dāng)且僅當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
，ymax=2×1+1=3．
點(diǎn)評：熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和的正弦余弦公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
），給出四個(gè)命題：①它的周期是π；②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對稱；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（
π
3
，0）成中心對稱；④它在區(qū)間[-
5π
12
，
π
12
]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1，其中θ∈[0，
5π
6
]，則導(dǎo)數(shù)f′（-1）的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+
π
4
）（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
2π
3
為最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
2
3
a+
π
12
）=
12
5
，求sinα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
），給出四個(gè)命題：①它的周期是2π；②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對稱；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（-
π
3
，0）成中心對稱；④它在區(qū)間[-
5π
12
，
π
12
]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=
π
8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)求y=f（x）的值域．

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