Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

2

3

．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；
（2）令y=-x即可證得f（-x）=-f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性的定義與奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知即可證得f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）利用f（x）在R上是減函數(shù)可知f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)，易求f（3）=-2，從而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0）=0；
（2）令y=-x，則f（-x）=-f（x），
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
由定義可知函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定和奇偶性的判定，以及抽象函數(shù)的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．