Question

已知z₁=

3

2

a+（a+1）i，z₂=-3

3

b+（b+2）i（a＞0、b＞0）且3z₁²+z₂²=0，求z₁和z₂．

Answer 1

分析：根據(jù)條件中所給的兩個(gè)向量之間的關(guān)系3z₁²+z₂²=0，變形為z₁和z₂之間的關(guān)系z(mì)₂=±

3

iz₁，因?yàn)橛袃煞N情況，所以要進(jìn)行討論，再根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，寫出關(guān)系式，解方程組得到結(jié)果．

解答：解：∵3z₁²+z₂²=0，
∴（

z2

z1

）²=-3，即

z2

z1

=±

3

i．
∴z₂=±

3

iz₁．
當(dāng)z₂=

3

iz₁時(shí)，得
-3

3

b+（b+2）i=

3

i[

3

2

a+（a+1）i]=-

3

（a+1）+

3

2

ai．
由復(fù)數(shù)相等的條件，得

-3 3 b=- 3 (a+1) b+2= 3 2 a

，解得a=2，b=1，
∴z₁=

3

+3i，z₂=-3

3

+3i．
當(dāng)z₂=-

3

iz₁時(shí)，得-3

3

b+（b+2）i=

3

（a+1）-

3

2

ai，
由復(fù)數(shù)相等的條件，知

-3b=a+1 b+2=- 3 2 a

∴

a=- 10 7 b= 1 7

∵已知a，b∈（0，+∞），
∴此時(shí)適合條件的a，b不存在．
∴z₁=

3

+3i，z₂=-3

3

+3i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的充要條件，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題可以出現(xiàn)在選擇和填空中，一旦出現(xiàn)復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，是比較簡單的問題，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．