如圖，在半徑為4，圓心角為變量2θ（0＜θ＜2π）的扇形OAB內(nèi)作一內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩半徑相內(nèi)切并與圓P外切的小圓Q，記圓Q的半徑為y．
（1）試將y表示成θ的函數(shù)；
（2）求圓Q的半徑y(tǒng)的最大值．
考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題：直線與圓
分析：（1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，圓P切OA于E，連結(jié)PE，將y表示成θ的函數(shù)．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•
t2-t
(1+t)2
，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出圓Q的半徑的最大值為
1
2
，此時sinθ=
1
3
．
解答： 解：（1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，
圓P切OA于E，連結(jié)PE，
則sinθ=
x
4-x
，∴x=
4sinθ
1+sinθ
，
同理，得y=
sinθ
1+sinθ
（4-2x）=
4sinθ(1-sinθ)
(1+sinθ)2
，
∴y=
4sinθ(1-sinθ)
(1+sinθ)2
．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•
t2-t
(1+t)2
，
則y′=4•
1-3t
(1+t)3
，
令y′=0，則t=
1
3
，
0＜t＜
1
3
時，y′＞0；
1
3
＜t＜1時，y′＜0．
∴當t=
1
3
時，y極大值=ymax，
∴圓Q的半徑的最大值為
1
2
，此時sinθ=
1
3
．
點評：本題考查函數(shù)的求法，考查圓的半徑的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線
2
ρ=4sin（θ+
π
4
）與曲線
x=
1
2
-
2
2
t
y=
1
2
+
2
2
t
的位置關(guān)系是（　　）
A、相交過圓心B、相交不過圓心
C、相切D、相離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{2 an}是公比為q的等比數(shù)列，則（　　）
A、{an}是公差為q的等差數(shù)列
B、{an}是公差為2q的等差數(shù)列
C、{an}是公差為log2q的等差數(shù)列
D、{an}可能不是等差數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα+cosα=-
1
5
（0＜α＜π）
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x-8，求不等式f（x）＞-6的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=m2（
1
m+8
+i）+（6m-16）i-
m+2
m+8
．（i為虛數(shù)單位）
（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限或第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=a+|b|sinx，（a，b∈R），x∈R，且函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為1．
（1）求a，b的值；
（2）（�。┣蠛瘮�(shù)f（-x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（ⅱ）求函數(shù)f（x）的對稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m為何值時，z是純虛數(shù)？
（2）m取什么值時，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整數(shù)），利用賦值法解決下列問題：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n為偶數(shù)時，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍數(shù)時，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．

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同步練習(xí)冊答案