Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠C=45°，AB=2，AD=1，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且EF∥AD，現(xiàn)以EF為折痕將四邊形AEFD向上折起，使平面AEFD垂直平面EBCF，連AC，DC，BA，BD，BF，

（1）求證：CB⊥平面DFB；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線FE為x軸的正半軸，射線FC為y軸的正半軸，射線FD為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz．利用向量法能夠證明CB⊥平面DFB．
（2）求出平面CAD的法向量，求出平面CAB的法向量=（1，1，1），由此能求出二面角B-AC-D的余弦值．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）在直角梯形ABCD中過(guò)B作BM⊥DC于M，
因∠C=45°，AB=2，AD=1，
所以MC=1，F(xiàn)C=2．
又因?yàn)樗�以折疊后平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF，
所以DF⊥平面EBCF，…（2分）
如圖，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線FE為x軸的正半軸，射線FC為y軸的正半軸，射線FD為z軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz．
依題意有A（1，0，1）B（1，1，0），D（0，0，1），C（0，2，0）．
則．
所以．…（4分）
即CB⊥FB，CB⊥FD．又FB∩FD=F，F(xiàn)B、FD?平面DFB
故CB⊥平面DFB．…（6分）
（2）依題意有．
設(shè)是平面CAD的法向量，
則
因此可取 ．…（8分）
同理設(shè)m是平面CAB的法向量，則
可取．…（11分）
故二面角B-AC-D的余弦值為．…（12分）
用其它解法參照給分
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．