已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足，且.
①證明直線與軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān)；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

(1)①交點(diǎn)為；②；(2) .

解析試題分析：(1)①本題方法很容易想到，主要考查計(jì)算推理能力，寫(xiě)出直線的方程，然后把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線的方程，令，求出，與無(wú)關(guān)；②兩個(gè)三角形∆與∆有一對(duì)對(duì)頂角和，故面積用公式，表示，那么面積比就為，即，這個(gè)比例式可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間(或縱坐標(biāo))的關(guān)系式，從而求出；(2)仍采取基本方法，設(shè)的方程為，則的方程為，直線與圓相交于，弦的長(zhǎng)可用直角三角形法求，(弦心距，半徑，半個(gè)弦長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)直角三角形)，的高為是直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)，用公式來(lái)求，再借助于基本不等式求出最大值及相應(yīng)的值，也即得出的方程.
試題解析：（1）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/7/1tiyl3.png" style="vertical-align:middle;" />,M (m,)，且，
直線AM的斜率為k1=,直線BM斜率為k2=,
直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y=,
由得，

由得，
；
據(jù)已知，，
直線EF的斜率
直線EF的方程為 ,
令x=0,得 EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).
②,,,
,，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過(guò)與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c,0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求|EF1|+|EF2|取得最小值時(shí)，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足   且，其中N為橢圓的下頂點(diǎn)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線 的焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點(diǎn)，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當(dāng)Ａ、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足＝，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓：  的離心率為，點(diǎn)（，0），（0，）原點(diǎn)到直線的距離為。

(1) 求橢圓的方程；
(2) 設(shè)點(diǎn)為（，0），點(diǎn)在橢圓上（與、均不重合），點(diǎn)在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4，且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得始終平分？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過(guò)切點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C:過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.

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