Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD為矩形，，SA=SD=a．
（1）求證：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）設(shè)E為SB的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面ACE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)P．以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PM為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠證明CD⊥SA．
（2）求出平面CSA的一個(gè)法向量和平面ADC的一個(gè)法向量．利用向量法能夠求出二面角S-AC-D的余弦值．
（3）求出平面ACE的法向量和，利用向量法能求出點(diǎn)B到平面ACE的距離．
解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)P．
在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點(diǎn)，所以，SP⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．∴PM⊥AD．
如圖，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PM為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，a），A（a，0，0），B（a，a，0），
C（-a，a，0），D（-a，0，0）．
∴
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102110564183157/SYS201311031021105641831020_DA/9.png">，
所以CD⊥SA．
（2）設(shè)=（x，y，z）為平面CSA的一個(gè)法向量，
則有，所以．
SP⊥平面ACD，所以=（0，0，1）為平面ADC的一個(gè)法向量．
所以cos＜，＞==，
所以二面角S-AC-D的余弦值為．
（3）∵E為SB的中點(diǎn)，∴E（，，），
∴=（-，，0），=（-，，），
設(shè)平面ACE的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則，解得=（，，-），
∵=（0，，0），
∴點(diǎn)B到平面ACE的距離d===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．