Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對(duì)任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1，其中f（1）=2．
（1）求f（2）和f（0）的值；
（2）求f（-1）的值并判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）設(shè)集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令a=b=1，可求出f（2）的值，令b=0，a=1可求得f（0）的值；
（2）令a=x，b=-x，結(jié)合f（0）=1可求得f（-x）=

1

f(x)

，從而可求f（1）=2，f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

，可判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）利用單調(diào)性的定義，先證明原函數(shù)y=f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到x與y的關(guān)系，最后根據(jù)A∩B=∅，則拋物線y=x²-6x+1與直線y=a無(wú)交點(diǎn)，從而求出所求．

解答：解：（1）∵對(duì)任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），
令a=b=1，則f（2）=f（1）×f（1）=4，
令b=0，a=1則，f（1）=f（0）•f（1）又f（1）=2，所以f（0）=1；
（2）令a=x，b=-x，則有f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（1）=2，
∴f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

，
從而可知f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1）所以原函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．；
（3）在集合A中f（-x²+6x-1）•f（y）=1 由已知條件，有f（-x²+6x-1+y）=f（0），
令a+b=x，a=y，由f（a+b）=f（a）•f（b），則

f(x)

f(y)

=f(x-y)，
當(dāng)x＞y，即x-y＞0時(shí)，f（x-y）＞1，也就是說(shuō)

f(x)

f(y)

＞1，
又x＞0時(shí)f（x）＞1，f（0）=1，
x＜0時(shí)，f(x)=

1

f(-x)

＞1可得f（x）＞f（y），
∴y=f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴-x²+6x-1+y=0，即y=x²-6x+1在集合B中，有y=a，
∵A∩B=∅，則拋物線y=x²-6x+1與直線y=a無(wú)交點(diǎn)，
y=x²-6x+1=（x-3）²-8，∴ymin=-8，∴a＜-8，
即a的取值范圍是（-∞，-8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用，（3）中判斷函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證、綜合運(yùn)算能力，屬于難題．