Question

如圖，在幾何體P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2．
（1）當(dāng)AD=2時(shí)，求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若PC與AD所成角為45°，求幾何體P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證平面PBD⊥平面PAC，只需證明平面ABCD內(nèi)的直線BD，垂直平面PBD必定兩條相交直線PA、AC即可；
（2）PC與AD所成角為45°，證明BC⊥平面PAB，求出底面ABCD的面積和高，求幾何體P-ABCD的體積．

解答：解：（1）當(dāng)AD=2時(shí)，四邊形ABCD是正方形，則BD⊥AC，（2分）
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，（4分）
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC；（6分）

（2）若PC與AD成45°角，AD∥BC，則∠PCB=45°．（8分）
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，PB?平面PAB
∴BC⊥PB（10分）
∴∠CPB=90°-45°=45°，∴BC=PB=2

2

∴幾何體P-ABCD的體積為

1

3

×(2×2

2

)×2=

8 2

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．