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已知拋物線y=x2+2x+b(x∈R)與坐標軸有三個交點,經過這三點的圓記為M.
(1)求實數b的取值范圍;
(2)設拋物線與x軸的交點從左到右分別為A、B,與y軸的交點為C,求A、B、C三點的坐標;
(3)設直線l是拋物線在點A處的切線,試判斷直線l是否也是圓M的切線?并說明理由.
分析:(1)先對實數b分等0和不等0兩種情況討論,再把與坐標軸有三個交點,轉化為與x軸有兩個不同的交點問題,利用判別式大于0即可求出實數b的取值范圍;
(2)先讓x=0求出點C的坐標,再令y=0求出對應方程的根即可求出點A、B的坐標;
(3)先求出圓M的方程以及直線l是的斜率,利用相切對應的斜率相乘為-1,解出實數b再與第一問相結合即可得出結論.
解答:解:(1)∵拋物線與坐標軸有三個交點
∴b≠0,否則拋物線與坐標軸只有兩個交點,與題設不符,
由b≠0知,拋物線與y軸有一個非原點的交點(0,b),
故拋物線與x軸有兩個不同的交點,即方程x2+2x+b=0有兩個不同的實根
∴△=4-4b>0即b<1
∴b的取值范圍是b<0或0<b<(13分)
(2)令x=0得y=b,
∴C(0,b)(4分)
令y=0得x2+2x+b=0解得x=
-2±
4-4b
2
=-1±
1-b

A(-1-
1-b
,0)
,B(-1+
1-b
,0)
(6分)
(3)∵y=x2+2x+b
∴y'=2x+2
∴直線l的斜率kl=2(-1-
1-b
+1)=-2
1-b
(7分)
設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵圓M過A(-1-
1-b
,0)
B(-1+
1-b
,0)
,C(0,b)
(-1-
1-b
)2+D(-1-
1-b
)+F=0
(-1+
1-b
)2+D(-1+
1-b
)+F=0
b2+Eb+F=0

解得
D=2
E=-(b+1)
F=b
(10分)
∴圓心M(-1,
1+b
2
)
(11分)
kMA=
1+b
2
1-b
=
1+b
2
1-b
,若直線l也是圓M的切線,
則kl•kMA=-1即-2
1-b
1+b
2
1-b
=-1
?1+b=1解得b=0
這與b<0或0<b<1矛盾(13分)
∴直線l不可能是圓M的切線.(14分)
點評:當一個拋物線開口向上或向下時,與坐標軸的交點問題就轉化為對應函數與坐標軸的交點問題.而一個函數與y軸最多有一個交點,就把問題簡單化了.
練習冊系列答案
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12
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