Question

某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)一百臺(tái)，需要新增加投入2.5萬(wàn)元．經(jīng)調(diào)查，市場(chǎng)一年對(duì)此產(chǎn)品的需求量為500臺(tái)；銷(xiāo)售收入為R（t）=6t﹣t²（萬(wàn)元），（0＜t≤5），其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）．（說(shuō)明：①利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本；②產(chǎn)量高于500臺(tái)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生庫(kù)存，庫(kù)存產(chǎn)品不計(jì)于年利潤(rùn)．）
（1）把年利潤(rùn)y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，工廠(chǎng)所獲得年利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，f（x）=6x﹣x²﹣0.5﹣2.5x=﹣x²+3.5x﹣0.5 ，
當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）=6×5﹣×5²﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x ，
即f（x）= 。
（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，f（x）=﹣（x²﹣7x+1）=﹣（x﹣）²+ ，
 ∴當(dāng)x=3.5∈（0，5]時(shí)，f（x）max==5.625 。
當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）為（5，+∞）上的減函數(shù)，
f（x）＜f（5）=17﹣2.5×5=4.5，又5.625＞4.5 ，，
∴f（x）max=f（3.5）=5.625 。
故當(dāng)年產(chǎn)量為350臺(tái)時(shí)，工廠(chǎng)所獲年利潤(rùn)最大。