【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知(a-3b)cos C=c(3cos B-cos A).
(1)求的值; (2)若c=a,求角C的大。
【答案】(1)3; (2) .
【解析】
(1)由正弦定理得,(sin A-3sin B)cos C=sin C(3cos B-cos A),即sin(A+C)=3sin(C+B),即sin B=3sin A。
(2)(2)由(1)知b=3a,∵c=a,
∴cos C====,得解
(1)由正弦定理得,(sin A-3sin B)cos C=sin C(3cos B-cos A),
∴sin Acos C+cos Asin C=3sin Ccos B+3cos Csin B,
即sin(A+C)=3sin(C+B),即sin B=3sin A,∴=3.
(2)由(1)知b=3a,∵c=a,
∴cos C====,
∵C∈(0,π),∴C=.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|.
(1)當a=3時,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≥5﹣x對x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某制瓶廠要制造一批軸截面如圖所示的瓶子,瓶子是按照統(tǒng)一規(guī)格設(shè)計的,瓶體上部為半球體,下部為圓柱體,并保持圓柱體的容積為3π.設(shè)圓柱體的底面半徑為x,圓柱體的高為h,瓶體的表面積為S.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何設(shè)計瓶子的尺寸(不考慮瓶壁的厚度),可以使表面積S最小,并求出最小值.
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【題目】已知向量 =(1+cosωx,1), =(1,a+ sinωx)(ω為常數(shù)且ω>0),函數(shù)f(x)= 在R上的最大值為2.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移 個單位,可得函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0, ]上為增函數(shù),求ω的最大值.
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【題目】已知集合M={x| <0},N={x|x≤﹣1},則集合{x|x≥3}等于( )
A.M∩N
B.M∪N
C.R(M∩N)
D.R(M∪N)
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【題目】在8件獲獎作品中,有3件一等獎,有5件二等獎,從這8件作品中任取3件.
(1)求取出的3件作品中,一等獎多于二等獎的概率;
(2)設(shè)X為取出的3件作品中一等獎的件數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知一個口袋中裝有n個紅球(n≥1且n∈N+)和2個白球,從中有放回地連續(xù)摸三次,每次摸出2個球,若2個球顏色不同則為中獎,否則不中獎.
(1)當n=3時,設(shè)三次摸球中中獎的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列;
(2)記三次摸球中恰有兩次中獎的概率為P,求當n取多少時,P的值最大.
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【題目】某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預報,位于基地南偏東60°方向相距20(+1)海里的海面上有一臺風中心,影響半徑為20海里,正以每小時10海里的速度沿某一方向勻速直線前進,預計臺風中心在基地東北方向時對基地的影響最強烈且(+1)小時后開始影響基地持續(xù)2小時,求臺風移動的方向.
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