Question

（2012•蘭州模擬）某市為了推動(dòng)全民健身運(yùn)動(dòng)在全市的廣泛開展，該市電視臺(tái)開辦了健身競技類欄目《健身大闖關(guān)》，規(guī)定參賽者單人闖關(guān)，參賽者之間相互沒有影響，通過關(guān)卡者即可獲獎(jiǎng)．現(xiàn)有甲、乙、丙3人參加當(dāng)天的闖關(guān)比賽，已知甲獲獎(jiǎng)的概率為

3

5

，乙獲獎(jiǎng)的概率為

2

3

，丙獲獎(jiǎng)而甲沒有獲獎(jiǎng)的概率為

1

5

．
（1）求三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率；
（2）記三人中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)甲獲獎(jiǎng)為事件A，乙獲獎(jiǎng)為事件B，丙獲獎(jiǎng)為事件C，丙獲獎(jiǎng)的概率為p，由題意可得P（C）P（

.

A

）=

1

5

，從而求出p值，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率．
（2）由題意可得三人中獲獎(jiǎng)的人數(shù)ξ值為：0，1，2，3，再結(jié)合題中的條件與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出它們發(fā)生的概率，進(jìn)而求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：設(shè)甲獲獎(jiǎng)為事件A，乙獲獎(jiǎng)為事件B，丙獲獎(jiǎng)為事件C，丙獲獎(jiǎng)的概率為p，
則P（C）P（

.

A

）=

1

5

，即p（1-

3

5

）=

1

5

，∴p=

1

2

．
（1）三人中恰有一人獲獎(jiǎng)的概率為：
P=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）
=

3

5

（1-

2

3

）（1-

1

2

）+（1-

3

5

）

2

3

（1-

1

2

）+（1-

3

5

）（1-

2

3

）

1

2

=

3

10

；
（2）P（ξ=0）=

2

5

×

1

3

×

1

2

=

1

15

，
P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）=

3

10

，
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）=

13

30

，
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

1

5

．
∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與對立事件的定義，以及離散型隨機(jī)變量的期望，此題屬于中檔題．