Question

已知直線y=

1

2

x與拋物線y²=2px（p＞0）交于O，A兩點（F為拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點），若|AF|=17，求OA的垂直平分線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求焦點F的坐標(biāo)為（0.5p，0），再求得A坐標(biāo)（4p，8p），從而有（4p-0.5p）²+（8p-0）²=AF²=17²，可解得p的值，從而可求OA的垂直平分線的方程．

解答： 解：由題意可得：F（0.5p，0），
由y=

x

2

，得：x=2y，
可得：y²=2px=2p•2y，
∴可得：y=4p，x=8p，
∴可得：A（8p，4p），
∴（4p-0）²+（8p-0.5p）²=AF²=17²，
∴72.25p²=17²，
∵p＞0，∴可解得：p=2，
∴OA的垂直平分線的方程是：y-4p=-2•（x-2p），
即y-4=-2•（x-8）．
化簡后一般式為：2x+y-20=0．

點評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想．