Question

已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，前三項(xiàng)和S₃=39．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=a_n•log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的前三項(xiàng)建立關(guān)于q的方程，求出q的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意公比為正數(shù)這一條件；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和即可求出所求．

解答：解：（1）∵公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中a₁=3，S₃=39
∴3+3q+3q²=39解得q=3或-4（舍去）
∴a_n=a₁q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ，
（2）∵b_n=a_n•log₃a_n，
∴b_n=3ⁿ•log₃3ⁿ=n•3ⁿ，
∴T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ；          ①
3T_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹；②
由①-②得-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹=

3

2

(3n-1)-n•3ⁿ⁺¹；
∴T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4

∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相消法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．