在數(shù)列{an}中，a1=1，且對任意的n∈N+，都有．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求證：對任意的n∈N+，Sn+1-4an都為定值．
【答案】分析：（1）由，知．由此能夠證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，故．所以．由錯位相減法能夠證明對任意的n∈N+，Sn+1-4an都為定值．
解答：證明：（1）∵，
∴．
∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，
∴．
∴．…①
∴．…②
∴由②-①可得．
∴，
故對任意的n∈N+，Sn+1-4an都為定值．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項和的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

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