Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=2ⁿ•a_n，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．知b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，再由錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
∴b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，①
2S_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，②
①-②得-S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

22(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
故答案為（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和．