Question

把一顆骰子投擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a²，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b²（其中a＞0，b＞0）．試求：
（Ⅰ）方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率；
（Ⅱ）方程

x2

a2

-

y2

b2

=1表示離心率為2的雙曲線的概率．

Answer 1

分析：先確定事件的所有可能情況，再分別計算
（Ⅰ）方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上的橢圓，則a²＞b²，且a²＞b²的所有可能的情況，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）方程

x2

a2

-

y2

b2

=1表示離心率為2的雙曲線，則

b2

a2

=3，滿足條件的有（1，3），（2，6）共有2種，故可得結(jié)論．

解答：解：∵一顆骰子投擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a²，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b²
∴（a²，b²）所有可能的情況是（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）；（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2、6）；（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3、6）；（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4、6）；（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5、6）；（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6、6），共有36種．…（2分）
（Ⅰ）設(shè)事件A表示“焦點在x軸上的橢圓”，方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上的橢圓，則a²＞b²，且a²＞b²的所有可能的情況是（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）（6，1）、（6，2）、
（6，3）、（6，4）、（6，5）共有15種．所以P(A)=

15

36

=

5

12

；…（7分）
（Ⅱ）設(shè)事件B表示“離心率為2的雙曲線”，即e2=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

=4，
所以

b2

a2

=3，則滿足條件的有（1，3），（2，6）共有2種．
∴P(B)=

2

36

=

1

18

．                           …（12分）

點評：本題以圓錐曲線為載體，考查概率知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)．