已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列、滿足．

（Ⅰ）當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列（各項(xiàng)都相等的數(shù)列），且時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)，而數(shù)列惟一確定；

（Ⅲ）設(shè)，，求證：．

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由是常數(shù)列，得，進(jìn)而探求數(shù)列項(xiàng)間的關(guān)系；（Ⅱ）將等差數(shù)列、　的通項(xiàng)公式代入，根據(jù)等式恒成立，求首項(xiàng)和公差；（Ⅲ）利用題中所給關(guān)系式對(duì)進(jìn)行適當(dāng)放縮，求出上界和下界.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列是常數(shù)列，且，所以①，因此②，①-②得，，這說(shuō)明數(shù)列的序號(hào)為奇數(shù)的項(xiàng)及序號(hào)為偶數(shù)的項(xiàng)均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列，又，，所以，因此，，即.

（Ⅱ）設(shè)、都是公差分別為，將其通項(xiàng)公式代入得，因?yàn)樗呛愕仁�，所�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101002753775733/SYS201310010101152173949898_DA.files/image017.png">，解得，因此.

由于可以取無(wú)窮多非零的實(shí)數(shù)，故數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)，而數(shù)列惟一確定；

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101002753775733/SYS201310010101152173949898_DA.files/image021.png">，且，所以，即，所以，得，因此.

又由得，，而，所以，因此

，所以，所以.

考點(diǎn)：等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，由下表給出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并規(guī)定數(shù)列{an}，{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，則y的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，有an≤
2
2
成立；
（2）設(shè)bn+1=
bn
an
，n∈N*，求證：數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)bn+1=anbn，n∈N*，試問(wèn){an}可能為等比數(shù)列嗎？若可能，請(qǐng)求出公比的值，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求證：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）數(shù)列{(
bn
an
)2}是等差數(shù)列，并求出其公差；
（Ⅱ）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設(shè)bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列由表下給出：
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，…，5)，并規(guī)定數(shù)列		 n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an}，{ bn}的“并和”為 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
則y的最小值為
3
3
．

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