已知橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為O,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上的不同兩點A(x1,y1)、C(x2,y2)滿足條件|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的方程;

(2)求弦AC中點的橫坐標;

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求實數(shù)m的取值范圍.

解:(1)由橢圓定義及已知條件知

2a=|F1B|+|F2B|=10.∴a=5,

又c=4,∴b2=a2-c2=9

故橢圓方程為=1

(2)由點B在橢圓上,可知|F2B|=|yB|=,而橢圓的右準線方程為x=,離心率為,由橢圓定義有|F2A|=(-x1),|F2C|=(-x2).

依題意|F2A|+|F2C|=2|F2B|

則5-x1+5-x2=2×  ∴x1+x2=8,(8分)

設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4,

即弦AC的中點的橫坐標為4

(3)由A(x1,y1),B(x2,y2),在橢圓上得9=9×25,

9=9×25,兩式相減整理得

9=0

(x1≠x2)將=x0=4,=y0,

(k≠0)代入得9×4+25y0()=0即k=

由于P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上,

∴y0=4k+m,于是m=y0-4k=y0-.

,

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