Question

如圖所示橢圓中，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，PF為直徑的圓與長(zhǎng)軸為直徑的圓的關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)F、F'分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，作出以PF為直徑的圓和以長(zhǎng)軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．設(shè)PF的中點(diǎn)為M，連結(jié)PF'，利用三角形中位線定理與橢圓的定義，證出|OM|=

1

2

|PF'|=a-

1

2

|PF|，得到兩圓的圓心距等于它們半徑之差，從而得到兩圓的位置關(guān)系是相內(nèi)切．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)、F'分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，
作出以線段PF為直徑的圓和以長(zhǎng)軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．
設(shè)PF中點(diǎn)為M，連結(jié)PF'，
∴OM是△PFF'的中位線，可得|OM|=

1

2

|PF'|，即兩圓的圓心距為

1

2

|PF'|
根據(jù)橢圓定義，可得|PF|+|PF'|=2a，
∴圓心距|OM|=

1

2

|PF'|=

1

2

（2a-|PF|）=a-

1

2

|PF|，
即兩圓的圓心距等于它們半徑之差，
因此，以PF為直徑的圓與以長(zhǎng)半軸為直徑的圓x²+y²=a²相內(nèi)切．
故答案為：內(nèi)切．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓以一條焦半徑為直徑的圓和以長(zhǎng)軸為直徑的圓，求兩圓的位置關(guān)系．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系及其證明、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．