Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點P的作標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出橢圓的a，b，c，P是第一象限內該橢圓上的一點設為（x，y），利用，以及P在橢圓上，求點P的作標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓聯立，注意到交于不同的兩點A、B，△＞0且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），就是利用韋達定理，代入化簡，求直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．
∴，．設P（x，y）（x＞0，y＞0）．
則，又，
聯立，解得，．

（Ⅱ）顯然x=0不滿足題設條件．可設l的方程為y=kx+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立
∴，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得．①
又∠AOB為銳角，
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=
=
∴．②
綜①②可知，
∴k的取值范圍是．
點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合運用數學知識解決問題及推理計算能力．