Question

設(shè)曲線f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0即a=-1①，又f（x）在P點(diǎn)處的切斜線率為2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②，由①②解出即可．
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，找出極大值點(diǎn)，從而求出極大值．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），
所以f（1）=0即1+a=0即a=-1①，
又f（x）在P點(diǎn)處的切斜線率為2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，
所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
將①代入②得b=3，
故a=-1，b=3．
（2）∵f（x）=-x²+x+3lnx，（x＞0），
∴f′（x）=

-2x2+x+3

x

，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜

3

2

，
∴x=

3

2

時(shí)函數(shù)取極大值，
∴f（x）極大值=-

3

4

+3ln

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．