Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+=2S_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求解關(guān)于n的不等式a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8；
（Ⅲ）記數(shù)列bn=2S_n³，T_n=…+，證明：1-＜T_n＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+=2S_n，∴a_n²+1=2a_nS_n．當(dāng)n≥2時，（S_n-S_n-1）²+1=2（S_n-S_n-1）S_n，
化簡得S_n²-S_n-1²=1．由a₁+=2a₁，得a₁²=S₁²．
∴數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，又由a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8，得S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，∴．
又n∈N^*，∴不等式的解集為{1，2}
（Ⅲ）當(dāng)n≥2時，∵，∴，
∵，∴
∴1-＜T_n＜．
分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1，化簡得S_n²-S_n-1²=1．從而數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，從而S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，故可解；
（Ⅲ）∵可以證明，同理可證1-＜T_n
點評：本題主要考查等差數(shù)列的證明，解不等式，要注意數(shù)列的特殊性，對于不等式的證明，利用了放縮法，有一定的技巧．