Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判斷并用定義法證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）有零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由R上奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）設(shè)x₁＜x₂，利用作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷；
（III）化簡可得F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

，則問題轉(zhuǎn)化為方程-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

=0有解，化簡得b=4^x+2^x+1，則問題轉(zhuǎn)化為方程b=4^x+2^x+1有解，通過換元轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域即可；

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

-20+a

20+1

=0，
∴

-1+a

2

=0，
解得a=1，
（Ⅱ）f（x）在R上單調(diào)遞減．證明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

-2x+1

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-

2x+1-2

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（-1+

2

2x1+1

）-（-1+

2

2x2+1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2 x2-2 x1＞0，2 x1+1＞0，2 x2+1＞0，
∴

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（III）F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=（-1+

2

24x-b+1

）+（-1+

2

22x+1+1

）
=-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

，則問題轉(zhuǎn)化為方程-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

=0有解，
化簡得1=24x-b+2x+1，
∴4^x+2^x+1-b=0，
∴b=4^x+2^x+1，則問題轉(zhuǎn)化為方程b=4^x+2^x+1有解，
令t=2^x，t＞0，則4^x+2^x+1=t²+2t=（t+1）²-1＞0，
∴b＞0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問題解問題的能力．