Question

（本小題滿分14分）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立。
（Ⅰ）函數(shù)是否屬于集合？說明理由；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，
證明：函數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）。（Ⅱ）。 （Ⅲ）見解析。

試題分析：（1）根據(jù)題意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值進(jìn)行證明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出對應(yīng)的方程，再由一元二次方程有解的條件求出k的范圍，注意二次系數(shù)是否為零；
（3）根據(jù)定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的零點存在性判定理進(jìn)行判斷．.
（Ⅰ）若，在定義域內(nèi)存在，則， ∵方程無解，∴。
（Ⅱ），
時，；時，由，得。
∴。 
（Ⅲ）∵，
又∵函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，設(shè)交點的橫坐標(biāo)為，
則，其中。
∴，即。
點評：本題屬于新定義，新情景的問題，主要利用新定義進(jìn)行運算，考查了對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點存在性判定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)、難度大．