Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的λ的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)μ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由數(shù)列{a_n}的遞推公式，依次計算可得答案；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1；將λ=1代入可得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂），產(chǎn)生矛盾，即可得答案；
（Ⅲ）根據(jù)題意中b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），表示出b₁，b₂，b₃三項，又由{b_n}是等比數(shù)列，可得b₁×b₃=b₂²，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）²，解可得答案．
解答：解：（I）a₄===5
a₅===8
（II）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，
則2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），
解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂），
與數(shù)列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列矛盾
故不存在實數(shù)λ，使數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列
（III）根據(jù)題意，可得a₁=a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，
則b₁=a₃-μa₂=3-2μ，b₂=a₄-μa₃=5-3μ，b₃=a₅-μa₄=8-5μ，
若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則b₁×b₃=b₂²，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）²，
解可得μ=．
點評：本題考查數(shù)列遞推公式的運用，在解（Ⅲ）時，可以根據(jù)題意，用特例法，直接由b₁，b₂，b₃等比，得到b₁×b₃=b₂²，進一步得到關(guān)于μ的方程，解可得答案．