【題目】已知函數(shù)的定義域為，對于任意實數(shù)，，都有，當時，.

（1）求的值；

（2）證明：當時，.

（3）證明：在上單調(diào)遞減.

（4）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.

【解析】

（1）令，，化簡后可得的值.

（2）設(shè)，由題設(shè)可得，從而得到，結(jié)合可得.

（3）利用單調(diào)性的定義可證在上單調(diào)遞減.

（4）原不等式等價于，利用單調(diào)性和（1）中的結(jié)論可得對任意的恒成立，參變分離后可求的取值范圍.

（1）令，，∴，

∵時，，∴，∴.

（2）設(shè)，，則，

∴，∵，∴，即.

（3）任取，且，

則

，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴在上單調(diào)遞減.

（4），∴，

令,則，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

由基本不等式可得，當且僅當等號成立，

故即.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，實施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗學生上網(wǎng)課的效果，高三學年進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).已知這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計抽取的100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)；(中位數(shù)保留兩位小數(shù))

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分數(shù)在，的兩組同學中隨機抽取6名同學，從這6名同學中再任選2名同學作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學習優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學的分數(shù)不在同一組內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（2）設(shè)點，直線與圓相交于兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？

（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】秸稈還田是當今世界上普通重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入萬元（已減去所用柴油費）；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用（元）與使用年數(shù)的關(guān)系為：，已知第二年付費元，第五年付費元．

（1）試求出該農(nóng)機戶用于維修保養(yǎng)的費用（元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；

（2）這臺收割機使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-維修保養(yǎng)費用-購買機械費用）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有下列四個命題

①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若，則有實根”的逆否命題；

④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題.

其中真命題為_______________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場經(jīng)營一批進價為30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.

x

…

30

40

45

50

…

y

…

60

30

15

0

…

（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對的對應(yīng)點，根據(jù)畫出的點猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出一個函數(shù)解析式；

（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號1，， ，1000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8，抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) （ x R ,且 e 為自然對數(shù)的底數(shù)）．

⑴ 判斷函數(shù) f x 的單調(diào)性與奇偶性；

⑵是否存在實數(shù) t ，使不等式對一切的 x R 都成立？若存在，求出 t 的值，若 不存在說明理由．

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