Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，前n項(xiàng)和為S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f'（1）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，從而a_n+1+1=2（a_n+1）．
當(dāng)n=1時(shí)，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
從而a₂+1=2（a₁+1）．故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，從而

an+1+1

an+1

=2．
即{a_n+1}是以a₁+1=6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f'（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
從而f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-

n(n+1)

2

=3[n×2n+1-2n+1+2]-

n(n+1)

2

=3(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+6．