Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=(cosx，

3

cosx)，函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在x∈[0，π]時(shí)的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)中的輔助角公式可以求得f（x）的解析式；
（2）由（1）得到f（x）=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，利用正弦函數(shù)的周期公式，可求得其最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求其單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，π]，易求2x-

π

6

∈[-

11π

6

，

11π

6

]，從而可求得f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）f(x)= 

a

 •

b

=-cos2x+

3

sinxcosx 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

) -

1

2

；
（2）由（1）f(x)=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，
所以最小正周期T=

2π

2

=π；
2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]  ，k∈Z．
（3）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)2x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]，所sin(2x-

π

6

) ∈[-1，1]，
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)f（x）取最大值，f(x)max=f(

π

3

) =

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握好三角函數(shù)特別是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，最值，周期及圖象等性質(zhì)，是中檔題．