Question

對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（Ⅰ）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）=2^x+m是定義在區(qū)間[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用局部奇函數(shù)的定義，建立方程關(guān)系，然后判斷方程是否有解即可．

解答：解：f（x）為“局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程f（-x）=-f（x）有解．
（Ⅰ）當(dāng)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），時，
方程f（-x）=-f（x）即2a（x²-4）=0，有解x=±2，
所以f（x）為“局部奇函數(shù)”．                                     …（3分）
（Ⅱ）當(dāng)f（x）=2^x+m時，f（-x）=-f（x）可化為2^x+2^-x+2m=0，
因為f（x）的定義域為[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t=2x∈[

1

2

，2]，則-2m=t+

1

t

．
設(shè)g（t）=t+

1

t

，則g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
當(dāng)t∈（0，1）時，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)．       …（7分）
所以t∈[

1

2

，2]時，g（t）∈[2，

5

2

]．
所以-2m∈[2，

5

2

]，即m∈[-

5

4

，-1]．                          …（9分）
（Ⅲ）當(dāng)f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3時，f（-x）=-f（x）可化為4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0．
t=2^x+2^-x≥2，則4^x+4^-x=t²-2，
從而t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解即可保證f（x）為“局部奇函數(shù)”．…（11分）
令F（t）=t²-2mt+2m²-8，
1° 當(dāng)F（2）≤0，t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解，
由當(dāng)F（2）≤0，即2m²-4m-4≤0，解得1-

3

≤m≤1+

3

；  …（13分）
2° 當(dāng)F（2）＞0時，t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解等價于

△=4m2-4(2m2-8)≥0 m＞2 F(2)＞0

解得1+

3

≤m≤2

2

．          …（15分）
（說明：也可轉(zhuǎn)化為大根大于等于2求解）
綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為1-

3

≤m≤2

2

．            …（16分）

點評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，利用新定義，建立方程關(guān)系，然后利用函數(shù)性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．