Question

已知a＞0，過M（a，0）任作一條直線交拋物線y²=2px（p＞0）于P，Q兩點(diǎn)，若為定值，則a=

1. A.
   
2. B.
   2p
3. C.
   
4. D.
   p

Answer 1

D
分析：利用直線的參數(shù)方程來求，先設(shè)直線PQ的參數(shù)方程，用參數(shù)表示P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求MP，MQ的長度，再代入，如為定值，則化簡后與參數(shù)α無關(guān)，就可求出a的值．
解答：設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為x=a+tcosα，y=tsinα
則P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（a+t₁cosα，t₁sinα），（a+t₂cosα，t₂sinα），
∴|MP|²=（a+t₁cosα-a）²+（t₁sinα）²=t₁²cos²α+t₁²sin²α=t₁²
|MQ|²=（a+t₂cosα-a）²+（t₂sinα）²=t₂²cos²α+t₂²sin²α=t₂²
又∵P，Q在拋物線y²=2px，
∴（t₁sinα）²=2p（a+t₁cosα）
（t₂sinα）²=2p（a+t₂cosα）
∴sin²αt₁²-2pcosαt₁-2pa=0
sin²αt₂²-2pcosαt₂-2pa=0
∴t₁，t₂是方程sin²αt²-2pcosαt-2pa=0的兩根，
∴t₁+t₂=，t₁•t₂=-
t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=
∵==
==為定植，∴a=p
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用直線的參數(shù)方程判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于較難題目．