Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=2時(shí)有極值，求實(shí)數(shù)a的值和f（x）的極大值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，這樣即可求出a，這樣就可求出f′（x），并令f′（x）=0，這樣方程的解將區(qū)間（0，+∞）劃分為幾個(gè)區(qū)間，通過判斷f′（x）在這幾個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，即可找到極大值點(diǎn)，從而求出極大值；
（Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≤0對(duì)于x＞0時(shí)恒成立，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$；
∴f′（2）=a+$\frac{a}{4}$-1=0，解得a=$\frac{4}{5}$；
∴f′（x）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{{5x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-2）（2x-1）}{{5x}^{2}}$，
x＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，或2；
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（$\frac{1}{2}$，2）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得極大值f（$\frac{1}{2}$）=2ln2-$\frac{6}{5}$；
（Ⅱ）（2）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在x＞0時(shí)恒成立；
∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∴需x＞0時(shí)ax²-2x+a≤0恒成立；
a=0時(shí)，函數(shù)y=ax²-2x+a開口向上，
x＞0時(shí)，不滿足ax²-2x+a＜0恒成立，
a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）=ax²-2x+a的對(duì)稱軸是x=a＜0，
圖象在y軸左側(cè)且g（0）=a＜0，故滿足題意，
綜上，a≤0．

點(diǎn)評(píng) 考查極值的概念，根據(jù)極值定義求極值，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，是一道中檔題．