已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率等于
3
2
，且經(jīng)過點（1，
3
2
），
（1）求橢圓C的方程；
（2）若經(jīng)過點（-1，
1
2
）的直線l與橢圓C交于A、B兩個不同點，且滿足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
（O為坐標原點）關系的點M也在橢圓C上，求直線l的方程．
分析：（1）利用橢圓的離心率等于
3
2
，且經(jīng)過點（1，
3
2
），建立方程，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識，結合韋達定理，即可求得結論．
解答：解：（1）由題意知
c
a
=
3
2
，
1
a2
+
3
4b2
=1，解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
若直線l的斜率存在時，設直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程，
消去y可得（1+4k2）x2+（8k2+4k）x+4k2+4k-3=0
∴x1+x2=-
8k2+4k
1+4k2
，x1x2=
4k2+4k-3
1+4k2

設M（x，y），則∵
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB

∴（x，y）=（
1
2
x1+
3
2
x2，
1
2
y1+
3
2
y2）
∵M在橢圓上，∴
x2
4
+y2=1
∴
(
1
2
x1+
3
2
x2)2
4
+(
1
2
y1+
3
2
y2)2=1
∴x1x2+4y1y2=0
∵x1x2=
4k2+4k-3
1+4k2
，∴y1y2=
-12k2+4k+1
4+16k2

∴
4k2+4k-3
1+4k2
+4×
-12k2+4k+1
4+16k2
=0
∴k=
1
2

當l的斜率不存在時，不滿足條件
∴直線l的方程為x-2y+2=0．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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