Question

已知f′（x）是函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-6）x（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）滿足f′（x+1）=f′（1-x），則以下結(jié)論正確的是（　�。�

• A、函數(shù)f（x）的極大值為0
• B、函數(shù)f（x）的極小值為5
• C、函數(shù)f（x）的極大值為27
• D、函數(shù)f（x）的極小值為-27

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用f′（x+1）=f′（1-x），建立等式關(guān)系，求出a的值，然后求解函數(shù)的極值，解之即可．

解答： 解：對f（x）=x³+ax²+（a-6）x求導(dǎo)，得
f′（x）=3x²+2ax+a-6，
又f′（x+1）=f′（1-x），即f′（x）關(guān)于x=1對稱，可得

-2a

3×2

=1，即a=-3，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
3x²-6x-9=0，化簡得x=3，或x=-1，
令f′（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）
令f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）
∴函數(shù)在x=3時取得極小值為：-27，
函數(shù)在x=-1時取得極大值，函數(shù)的極大值為6．
故選：D．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的運算，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．