Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的三角公式化簡f（x）為sin（2x-

π

6

），由此求得最小正周期T的值．再由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），求得函數(shù)圖象的對稱軸方程．
（2）根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

6

），
∴最小正周期T=

2π

2

=π．
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）．
∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1．
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題主要考查兩角和差的余弦公式，正弦函數(shù)的周期性和對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題