Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）上是增函數(shù)，求b的值．
（2）設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù)g(x)=xn+

c

xn

(c＞0)的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件知

2b

=4，由此可知b=4．
（2）由

c

∈[1，2]，知當(dāng)x=

c

時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．再由c的取值判斷函數(shù)f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值．
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．由此入手進(jìn)行單調(diào)性的討論．

解答：解：（1）由已知得

2b

=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴

c

∈[1，2]，
于是，當(dāng)x=

c

時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．
f（1）-f（2）=

c-2

2

，
當(dāng)1≤c≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是f（2）=2+

c

2

；
當(dāng)2≤c≤4時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．
當(dāng)

2n	c

＜x₁＜x₂時(shí)，g（x₂）＞g（x₁），函數(shù)g（x）在[

2n	c

，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x₁＜x₂＜

2n	c

時(shí)，g（x₂）＞g（x₁），函數(shù)g（x）在（0，

2n	c

]上是減函數(shù)．
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，g（x）是奇函數(shù)，
函數(shù)g（x）在（-∞，-

2n	c

]上是增函數(shù)，在[-

2n	c

，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，g（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)g（x）在（-∞，-

2n	c

）上是減函數(shù)，在[-

2n	c

，0]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．