已知
a
，
b
是非零向量，
a
與
b
的夾角為θ，當(dāng)
a
+t
b
（t∈R）的模取得最小值時(shí)．
（1）求t的值；
（2）若
a
與
b
同向共線，求證：
b
⊥(
a
+t
b
)．
分析：（1）由兩個(gè)向量的夾角，表示出兩個(gè)向量的模長然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求取得最小值時(shí)的t
（2）本題要證明兩個(gè)向量垂直，可通過向量的數(shù)量積為零來證明，求兩個(gè)向量數(shù)量積，根據(jù)上一問做出的結(jié)果，代入數(shù)量積的式子，即可證明
解答：（1）解：∵|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2

=
a
2+2t
a
•
b
+t2
b
2

=
a
2+2t|
a
||
b
|cosθ+
b
2
t2
=
b
2(t+
|
a
|
|
b
|
cosθ)2+|
a
|sin2θ

根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)可得，當(dāng)t=-
|
a
|
|
b
|
cosθ=-
|
a
||
b
|
|
b
|2
cosθ=
a
•
b
|
b
|2
×（-1）時(shí)，|
a
+t
b
|取得最小值．
（2）證明：
b
•(
a
+t
b
)=
b
•(
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
)=
b
•
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
2=
a
•
b
-
a
•
b
=0
∴
b
⊥(
a
+t
b
)．
點(diǎn)評(píng)：在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．?
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，滿足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），則λ=（　�。�
A、-1B、±1C、0D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夾角為
π
3
，則向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且滿足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角是
60
60
°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè)
u
=
a
+
tb
．
（1）當(dāng)|
u
|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）當(dāng)|
u
|取最小值時(shí)，求證
b
⊥（
a
+
b
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，則
a
，
b
應(yīng)滿足條件
 
．

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