Question

已知

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x），f（x）=

a

•

b

，P是實(shí)數(shù)．
（1）若存在唯一實(shí)數(shù)x，使

a

+

b

與

c

=(1，2)平行，試求P的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，試求y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)

a

+

b

與

c

=(1，2)平行時(shí)，根據(jù)向量平行的條件列式，可得關(guān)于x的一元二次方程，再由存在唯一實(shí)數(shù)x使兩個(gè)向量平行，運(yùn)用根的判別式可算出p=-

47

8

；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得f（x）=3x²+（p+2）x+3，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)算出p=-2，從而得到y(tǒng)=|f（x）-15|=|3x²-12|，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，即可得到y(tǒng)=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=（x²+4，x+p+2）
∴當(dāng)

a

+

b

與

c

=(1，2)平行時(shí)，有
2（x²+4）=x+p+2，化簡得2x²-x-p+6=0
∵存在唯一實(shí)數(shù)x，使

a

+

b

與

c

=(1，2)平行
∴△=1²-8（-p+6）=0，解之得p=-

47

8

；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=3（x²+1）+（p+2）x=3x²+（p+2）x+3
∴當(dāng)y=f（x）是偶函數(shù)時(shí)，p+2=0，解得p=-2
因此，f（x）=3x²+3，可得y=|f（x）-15|=|3x²-12|
當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，y=|f（x）-15|=12-3x²，最大值為12且最小值為0；
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，y=|f（x）-15|=3x²-12，最大值為15，且最小值大于0
綜上所述，y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的最大值為15，且最小值為0
∴y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域是[0，15]．

點(diǎn)評：本題以向量的平行和向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，著重考查了一元二次方程根的判別式和二次函數(shù)在閉區(qū)間上值域的求法等知識，屬于中檔題．